Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là

* Hướng dẫn giải

Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(f\left( x \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = a \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\\ x = b \in \left( { - 2;0} \right)\\ x = c \in \left( {0;2} \right)\\ x = d \in \left( {2; + \infty } \right) \end{array} \right.\).

Như vậy \(f\left( {2\cos x} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2\cos x = a \in \left( { - \infty ; - 2} \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\\ 2\cos x = b \in \left( { - 2;0} \right){\rm{ }}\left( 2 \right)\\ 2\cos x = c \in \left( {0;2} \right){\rm{ }}\left( 3 \right)\\ 2\cos x = d \in \left( {2; + \infty } \right){\rm{ }}\left( 4 \right) \end{array} \right.\).

Vì \(2\cos x \in \left[ { - 2;2} \right],\forall x \in \left[ {0;\frac{{7\pi }}{2}} \right]\) nên (1) và (4) vô nghiệm.

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \cos x = \frac{b}{2} \in \left( { - 1;0} \right)\,\,\,(5)\) (có 4 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0;\frac{{7\pi }}{2}} \right]\)).

\(\left( 3 \right) \Leftrightarrow \cos x = \frac{c}{2} \in \left( {0;1} \right)\,\,\,(6)\) (có 3 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0;\frac{{7\pi }}{2}} \right]\)).

Không có nghiệm nào của (5) trùng với nghiệm của (6).

Vậy số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\frac{{7\pi }}{2}} \right]\) của phương trình \(f\left( {2\cos x} \right) = \frac{1}{2}\) là 7.