Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a,AD = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a (tham khảo hình vẽ). Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách giữa hai đư...

* Hướng dẫn giải

Gọi N là trung điểm của AB khi đó BM // DN nên \(BM//\left( {SDN} \right)\)

\(d\left( {BM;SD} \right) = d\left( {BM;\left( {SDN} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SDN} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SDN} \right)} \right)\).

Kẻ \(AH \bot DN\) tại H. Ta có mặt phẳng \(\left( {SAH} \right) \bot \left( {SDN} \right)\). Trong (SAH) kẻ \(AK \bot SH\) tại K. Khi đó \(d\left( {BM;SD} \right) = d\left( {A;\left( {SDN} \right)} \right) = AK\)

\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{A{N^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{{21}}{{4{a^2}}}\).

Suy ra \(AK = \frac{{2a\sqrt {21} }}{{21}}\).