Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với hai đáy thỏa mãn 2CD = 3AB. Biết thể tích của khối chóp S.ABD bằng 4V và thể tích của khối chóp S.CDMN bằng , trong đó M, N lần l...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = x,\,\,\left( {x > 0} \right)\).

Nhận thấy hai tam giác \(\Delta ABD,\,\Delta BCD\) có đường cao bằng nhau và cạnh đáy \(CD = \frac{3}{2}AB\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta BCD}} = \frac{3}{2}{S_{\Delta DAB}} \Rightarrow {V_{S.BCD}} = \frac{3}{2}{V_{S.DAB}} = 6V\)

Ta có tỉ số thể tích:

\(\frac{{{V_{S.DMN}}}}{{{V_{S.DAB}}}} = \frac{{SD}}{{SD}}.\frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}} = {x^2} \Rightarrow {V_{S.DMN}} = {x^2}.{V_{S.DAB}} = 4{x^2}.V\).

\(\frac{{{V_{S.DNC}}}}{{{V_{S.DBC}}}} = \frac{{SD}}{{SD}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SC}}{{SC}} = x \Rightarrow {V_{S.DNC}} = x.{V_{S.DBC}} = 6x.V\).

Từ giả thiết \(\Rightarrow {V_{S.CDMN}} = {V_{S.DMN}} + {V_{S.DNC}} = \left( {4{x^2} + 6x} \right).V = \frac{{126}}{{25}}V \Leftrightarrow 4{x^2} + 6x - \frac{{126}}{{25}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{3}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( n \right)\\ x = - \frac{{21}}{{10}}\,\,\left( l \right) \end{array} \right.\)\(\Rightarrow \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{{SM}}{{MA}} = \frac{3}{2}\).

Vậy \(\frac{{SM}}{{MA}} = \frac{3}{2}\).