Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m hàm số đồng biến trên R.

* Hướng dẫn giải

Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + (5m + 6)x - 1\) có \(f'\left( x \right) = {x^2} - 2mx + 5m + 6\).

Hàm số đồng biến trên R

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 5m + 6 \ge 0\,\,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1 > 0\\ \Delta ' = {m^2} - 5m - 6 \le 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow - 1 \le m \le 6 \end{array}\)

Do \(m \in {N^ * } \Rightarrow m \in \left\{ {\,1\,;\,2;3;4;5;6} \right\}\).

Vậy có 6 giá trị nguyên dương của m.