Cho hai hàm số và ( với m là tham số) . Hỏi phương trình g(f(x)) = 0 có bao nhiêu nghiệm ?

* Hướng dẫn giải

Ta có \(g(x) = (x - 2)\left[ {({m^2} + 2m + 5){x^2} + x - 1} \right] = 0\) luôn có ba ngiệm phân biệt vì phương trình \(({m^2} + 2m + 5){x^2} + x - 1 = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) khác 2

Vậy \(g(f(x)) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = 2\\ f(x) = {x_1}\\ f(x) = {x_2} \end{array} \right.\)

Lại có \(f'(x) = {x^2} - 2(m + 1)x + 3{m^2} + 4m + 5 = 0\) vô nghiệm nên các phương trình (1), (2), (3) có nghiệm duy nhất và các nghiệm này khác nhau , vậy g(f(x)) = 0 có ba nghiệm.