Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình sau: Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

* Hướng dẫn giải

Dễ thấy x=0 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số vì \(x \ge 1.\)

Ta xét phương trình \({f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( x \right) = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)}\\ {f\left( x \right) = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)} \end{array}} \right..\)

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy rằng 

+) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} < 1;{x_2} = 2\) (nghiệm kép).

+) Phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt là \({x_3} = 1;{x_4} \in \left( {1;2} \right);{x_5} > 2\)

Do đó \({f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right).h\left( x \right)\) suy ra \(g\left( x \right) = \frac{{\sqrt {x - 1} }}{{x.h\left( x \right)}}.\)

Mà h(x) = 0 có 3 nghiệm lớn hơn 1 \(\left( {2;{x_4};{x_5}} \right) \Rightarrow \) ĐTHS y = g(x) có 3 đường TCĐ.