Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2] đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của tham số m bằng

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(f(x) = {x^4} - 38{x^2} + 120x + 4m,\,x \in {\rm{[}}0;2]\)

Ta có: \(f'(x) = 4{x^3} - 76x + 120\).  

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 5(loai)\\ x = 3(loai)\\ x = 2 \end{array} \right.\)

\(f(0) = 4m;\,f(2) = 104 + 4m \Rightarrow M{\rm{ax}}\mathop {|f(x)|}\limits_{x \in {\rm{[}}0;2]} = m{\rm{ax\{ |}}f(0)|;|f(2)|{\rm{\} = M}}\)

TH1: \(M{\rm{ax}}\mathop {|f(x)|}\limits_{x \in {\rm{[}}0;2]} \)= f(0) \(\Leftrightarrow |4m| \ge |104 + 4m| \Leftrightarrow m \le - 13\). Khi đó \(M \ge 52.\,\)

GTNN của M bằng 52 khi m = -13.

TH2: \(M{\rm{ax}}\mathop {|f(x)|}\limits_{x \in {\rm{[}}0;2]} \)= f(2) \( \Leftrightarrow |4m| \le |104 + 4m| \Leftrightarrow m \ge - 13\). Khi đó \(M \ge 52.\,\)

GTNN của M bằng 52 khi m = -13.

Vậy m = -13