Cho hình trụ (T). Biết rằng khi cắt hình trụ (T) bới mặt phẳng (P) vuông góc với trục được thiết diện là đường tròn có chu vi

* Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) cắt hình trụ được thiết diện là đường tròn có chu vi \(6a \pi\) nên ta có bán kính đáy của hình trụ \(r = \frac{{6a\pi }}{{2\pi }} = 3a\).

Giả sử thiết diện là hình vuông ABCD như hình bên, gọi O và O' lần lượt là tâm của hai đáy, H là trung điểm của AB.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} OH \bot AB\\ OH \bot CD \end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Suy ra \(OH = d\left( {O,\left( {ABCD} \right)} \right) = d\left( {OO',\left( {ABCD} \right)} \right) = 2a\).

Ta có \(AB = 2AH = 2\sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = 2\sqrt {{r^2} - O{H^2}} = 2a\sqrt 5 \).

Suy ra chiều cao hình trụ (T) là \(h = CD = a\sqrt 5 \).

Vậy thể tích khối trụ (T): \(V = \pi {r^2}h = 18\sqrt 5 \pi {a^3}\)