Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) với thỏa mãn điều kiện .

* Hướng dẫn giải

\({\log _2}\frac{{x + 2}}{{y + 1}} = 4{y^2} - {x^2} - 4x + 8y + 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 2} \right) - {\log _2}\left( {y + 1} \right) = 4{\left( {y + 1} \right)^2} - {\left( {x + 2} \right)^2} + 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 2} \right) + {\left( {x + 2} \right)^2} = {\log _2}2\left( {y + 1} \right) + {\left[ {2\left( {y + 1} \right)} \right]^2}\,\,\left( 1 \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + {t^2}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 2t > 0\,\,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow f(t)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {x + 2} \right) = f\left( {2y + 2} \right) \Leftrightarrow x + 2 = 2y + 2 \Leftrightarrow x = 2y\).

Mà \(0 < x \le 2020 \Rightarrow 0 < y \le 1010\).

Vậy có 1010 cặp số nguyên dương (x;y).