Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x - {m^3},\) với m là tham số. Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho.

* Hướng dẫn giải

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right).\)

\(y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=m-1 \\ & x=m+1 \\ \end{align} \right..\)

Vì hàm số có hệ số bậc ba dương nên hàm số có điểm cực tiểu \({{x}_{CT}}=m+1.\)

Mặt khác ta lại có: \(y=\left( x-m \right)\left[ {{\left( x-m \right)}^{2}}+3mx \right]-3mx\left( x-m \right)-3x\)

Suy ra: \({{y}_{CT}}=\left( {{x}_{CT}}-m \right)\left[ {{\left( {{x}_{CT}}-m \right)}^{2}}+3m{{x}_{CT}} \right]-3m{{x}_{CT}}\left( {{x}_{CT}}-m \right)-3{{x}_{CT}}\)

\({{y}_{CT}}=\left[ 1+3m{{x}_{CT}} \right]-3m{{x}_{CT}}-3{{x}_{CT}}=1-3{{x}_{CT}}\)

Vậy tọa độ điểm cực tiểu thỏa mãn phương trình đường thẳng y = -3x + 1 hay đường thẳng d có hệ số góc bằng -3.