Cho hình nón có chiều cao h = 6 và bán kính đường tròn đáy r = 3. Xét hình trụ có một đáy nằm trên hình tròn đáy của hình nón, đường tròn của mặt đáy còn lại nằm trên mặt xung quan...

* Hướng dẫn giải

Gọi hình trụ có chiều cao và bán kính đáy lần lượt là: \({{h}_{0}};{{r}_{0}}\left( 6>{{h}_{0}}>0;3>{{r}_{0}}>0 \right),\) khi đó thể tích của khối trụ \(V={{h}_{0}}\pi r_{0}^{2}.\)

Cắt khối tròn xoay bởi mặt phẳng qua trục của hình, gọi điểm O là tâm của đường tròn đáy hình nón, tâm I của đường tròn còn lại của hình trụ; IO đường cao của hình trụ nằm trong hình nón; E và F là các điểm nằm trên đường tròn đáy của hình trụ

Ta có \(\frac{IE}{OA}=\frac{SI}{SO}\Rightarrow \frac{{{r}_{0}}}{3}=\frac{6-{{h}_{0}}}{6}\Leftrightarrow {{h}_{0}}=6-2{{r}_{0}}\)

\(\Rightarrow V=\pi r_{0}^{2}\left( 6-2{{r}_{0}} \right)\le \pi {{\left( \frac{{{r}_{0}}+{{r}_{0}}+6-2{{r}_{0}}}{3} \right)}^{3}}=8\pi .\)

Dấu “=” khi \({{r}_{0}}=6-2{{r}_{0}}\Leftrightarrow {{r}_{0}}=2.\)