Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và A'A = A'B = A'C. Biết rằng \(AB = 2a,BC = \sqrt 3 a\) và mặt phẳng (A'BC) tạo với mặt đáy một góc 30o. Thể tích k...

* Hướng dẫn giải

+ Gọi H là trung điểm của AC, do tam giác ABC vuông tại B nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lại có A'A=A'B=A'C, suy ra \(A'H\bot \left( ABC \right)\).

+ \({{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'H.{{S}_{\Delta ABC}}.\)

+ \({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}2a\sqrt{3a}={{a}^{2}}\sqrt{3}.\)

+ Gọi J là trung điểm BC, JH vuông góc với BC, do đó dễ dàng lập luận được góc A'JH là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( A'BC \right)\) và \(\left( ABC \right)\). Từ đó tính được: \(A'H=\tan {{30}^{0}}.JH=\frac{1}{\sqrt{3}}a=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\)

+ Do đó: \({{V}_{ABC.A'B'C'}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}{{a}^{2}}\sqrt{3}={{a}^{3}}.\)