Cho bất phương trình \({{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)+1\ge {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+x+m-3 \right).\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình đ...

* Hướng dẫn giải

\({{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)+1\ge {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+x+m-3 \right)\text{ }\forall x\in \left[ 0;6 \right]\)

\(\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-x+2 \right)3\ge \left( {{x}^{2}}+x+m-3 \right)>0,\text{ }\forall x\in \left[ 0;6 \right]\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+x+m-3>0 \\ & 2{{x}^{2}}-4x-m+9\ge 0 \\ \end{align} \right.,\text{ }\forall x\in \left[ 0;6 \right]\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>-{{x}^{2}}-x+3 \\ & m\le {{x}^{2}}-4x+9 \\ \end{align} \right.,\text{ }\forall x\in \left[ 0;6 \right]\text{ }\left( 1 \right)\)

Ta có \(-{{x}^{2}}-x+3\le 3,\text{ }\forall x\in \left[ 0;6 \right].\) Dấu “=” xảy ra khi x=0.

Suy ra \(\underset{\text{ }x\in \left[ 0;6 \right]}{\mathop{\max }}\,\left( -{{x}^{2}}-x+3 \right)=3.\)

Lại có \(2{{x}^{2}}-4x+9=2{{\left( x-1 \right)}^{2}}+7\ge 7,\text{ }\forall x\in \left[ 0;6 \right].\) Dấu “=” xảy ra khi x=1.

Suy ra \(\underset{\text{ }x\in \left[ 0;6 \right]}{\mathop{\min }}\,\left( 2{{x}^{2}}-4x+9 \right)=7.\)

Vậy \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>3 \\ & m\le 7 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 3<m\le 7.\)

Vì \(m\in \mathbb{Z}\) nên ta được \(m\in \left\{ 4;5;6;7 \right\}\) (4 giá trị nguyên).