Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD, các đường thẳng SA, AC và CD đôi một vuông góc với nhau \(SA=AC=CD=\sqrt{2}a\) và AD = 2BC. Khoảng cách giữa hai đư...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\left\{ \begin{align} & SA\bot AC \\ & SA\bot CD \\ \end{align} \right.\Rightarrow SA\bot \left( ABCD \right)\).

Gọi M là trung điểm AD.

Do \(SA=AC=CD=\sqrt{2}a\) nên tam giác ACD vuông cân tại C suy ra \(CM\bot AD\), \(AD=\sqrt{2}AC=2a,\) \(CM=AM=\frac{1}{2}AD=a.\)

Từ đó ABCM là hình vuông suy ra \(AB\bot AD\).

Lại có \(CD//BM\Rightarrow CD//\left( SBM \right)\Rightarrow d\left( CD,AB \right)=d\left( D,\left( SBM \right) \right)=d\left( A,\left( SBM \right) \right)\)

Gọi \(O=AC\cap BM\)

Trong mặt phẳng \(\left( SAO \right);\) kẻ \(AK\bot SO\text{ }\left( 1 \right)\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{align} & BM\bot SA \\ & BM\bot CA \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow BM\bot \left( SAO \right)\Rightarrow BM\bot AK\text{ }\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\Rightarrow AK\bot \left( SBM \right)\)

\(\Rightarrow d\left( A,\left( SBM \right) \right)=AK=\frac{SA.AO}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{O}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{10}}{5}.\)

Có thể tính khoảng cách nhanh theo công thức

AB; AM; AS đôi một vuông góc thì \(d\left( A,\left( SBM \right) \right)=\frac{SA.SB.SM}{\sqrt{S{{A}^{2}}.S{{B}^{2}}+S{{B}^{2}}.S{{M}^{2}}+S{{M}^{2}}.S{{A}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{10}}{5}.\)