Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và hàm số f'(x) có đồ thị như đường cong trong hình bên. Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình \({{x}^{2}}+4x-m\ge \frac{1}{2}...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t=2x+4,t\in \left[ -2;2 \right]\Rightarrow x=\frac{t-4}{2}\)

Bất phương trình viết lại: \(\frac{{{t}^{2}}}{4}-4-m\ge \frac{1}{2}f\left( t \right)\) nghiệm đúng \(\forall t\in \left[ -2;2 \right]\)

\(\Leftrightarrow {{t}^{2}}-16-4m\ge 2f\left( t \right)\) nghiệm đúng \(\forall t\in \left[ -2;2 \right].\)

\(\Leftrightarrow 4m\le {{t}^{2}}-16-2f\left( t \right)\) nghiệm đúng \(\forall t\in \left[ -2;2 \right]\text{ }\left( 1 \right)\)

* Đặt \(g\left( t \right)={{t}^{2}}-16-2f\left( t \right),t\left[ -2;2 \right]\Rightarrow g'\left( t \right)=2t-2f'\left( t \right)\)

Vẽ đồ thị \(y=x;y=f'\left( x \right)\) trên cùng một hệ trục.

Ta thấy \(f'\left( x \right)\ge x;\forall x\in \left[ -2;2 \right]\) nên:

\(g'\left( t \right)=2t-2f'\left( t \right)\le 0,\forall t\in \left[ -2;2 \right]\) hay \(g\left( t \right)\) là hàm nghịch biến trên \(\left[ -2;2 \right].\)

\(\Rightarrow \underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( t \right)=g\left( 2 \right)=-12-2f\left( 2 \right)\)

\(\left( 1 \right)\Rightarrow 4m\le -12-2f\left( 2 \right)\)

\(\Rightarrow m\le -\frac{1}{2}f\left( 2 \right)-3.\)