Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a > 0 thỏa mãn \({\left( {{2^a} + \frac{1}{{{2^a}}}} \right)^{2017}} \le {\left( {{2^{2017}} + \frac{1}{{{2^{2017}}}}} \right)^a}.\)

* Hướng dẫn giải

Xét hàm \(f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}{x} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{\left( {{2^x} - {2^{ - x}}} \right)\ln {2^x} - \left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)\ln \left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}{{{x^2}\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}\).

Vì \(\ln {2^x} < \ln \left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)\) và \(0 < {2^x} - {2^{ - x}} < {2^x} + {2^{ - x}}\) nên \(f'\left( x \right) < 0 \Rightarrow f\left( x \right)\) nghịch biến.

Do vậy

\(\begin{array}{l} {\left( {{2^a} + \frac{1}{{{2^a}}}} \right)^{2017}} \le {\left( {{2^{2017}} + \frac{1}{{{2^{2017}}}}} \right)^a}\\ \Leftrightarrow 2017\ln \left( {{2^a} + {2^{ - a}}} \right) \le a\ln \left( {{2^{2017}} + {2^{ - 2017}}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{\ln \left( {{2^a} + {2^{ - a}}} \right)}}{a} \le \frac{{\ln \left( {{2^{2017}} + {2^{ - 2017}}} \right)}}{{2017}}\\ \Leftrightarrow a \ge 2017 \end{array}\)