Cho \(I = 2\int\limits_0^m {x\sin 2xdx} \) và \(J = \int\limits_0^m {\cos 2xdx} \) với \(m \in \mathbb{R}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

* Hướng dẫn giải

Ta có \(I = 2\int\limits_0^m {x\sin 2xdx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = u\\\sin 2xdx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}dx = du\\v =  - \frac{1}{2}\cos 2x\end{array} \right.\)

Khi đó \(I = 2\left[ {\left. { - \frac{1}{2}x\cos 2x} \right|_0^m + \frac{1}{2}\int\limits_0^m {\cos 2xdx} } \right] \)\(=  - m\cos 2m + \int\limits_0^m {\cos 2xdx} \)

Mà \(J = \int\limits_0^m {\cos 2xdx} \) nên \(I =  - m\cos 2m + J.\)