Cho \(I = \ln 3\int\limits_0^m {x{{.3}^x}dx} \) và \(J = \int\limits_0^m {{3^x}dx} \) với \(m \in \mathbb{R}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

* Hướng dẫn giải

Ta có \(I = \ln 3.\int\limits_0^m {x{{.3}^x}dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = u\\{3^x}dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}dx = du\\v = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}\end{array} \right.\)

Khi đó \(I = \left. {\ln 3.x.\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right|_0^m - \ln 3.\frac{1}{{\ln 3}}\int\limits_0^m {{3^x}dx} \)

\( \Rightarrow I = m{.3^m} - J\)