Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2sin^4x+ cos^2x+ 3 bằng

* Hướng dẫn giải

Ta có 2sin⁴x + cos²x + 3  = 2sin⁴x - sin²x + 4.

 Đặt t = sin²x; 0 ≤ t = sin² x  ≤1

Xét hàm số: f( t) = 2t⁴ - t² + 4 liên tục trên đoạn [0;1]

Có đạo hàm f’(t) = 8t³ - 2t = 2t( 4t² - 1)  

Trên khoảng (0;1) phương trình f’(t) =0 khi và chỉ khi t = 1/2

Ta có: f(0) = 4; f(1/ 2) = 31/ 8 và f(1) = 5.

Vậy

 $$\begin{gathered} \underset{t\in [0,1]}{min}f\left(t\right)=\frac{31}{8} tại t =1/2 \\ \Rightarrow \underset{R}{min} y=\frac{31}{8} khi {\sin }^{2}x=\frac{1}{2} \\ \iff \cos 2x=0 \\ \iff x=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\frac{k\mathrm{\pi }}{2} \end{gathered}$$

Chọn D.