Cho hàm số y = mx − 1/ x + 2 có đồ thị là (C). Tìm m để đường thẳng d: y=2x-1 cắt đồ thị

* Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{mx-1}{x+2}=2x-1 \left(1\right)$

Điều kiện: x$\ne -2$  Khi đó

 (1)  Suy ra: mx-1=(2x-1) (x+2) hay 2x²-(m-3)x-1=0     (2)     

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A; B khi và chỉ khi  (1) có hai nghiệm phân biệt suy ra (2)  có hai nghiệm phân biệt khác -2

$\iff \left\{\begin{array}{l}∆=[-(m-3){]}^2+8>0\\ 8+2m-6-1\ne 0\end{array}\right.\iff m \ne -\frac{1}{2}(*)$

Đặt A( x₁; 2x₁-1); B( x₂; 2x₂-1) với x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình (2).

Theo định lý Viet ta có   

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{m-3}{2}\\ x_1{x}_2=-\frac{1}{2}\end{array}\right.,khi đó$

$$\begin{gathered} AB=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+4{(x_1-x_2)}^2}=\sqrt{10}\iff 5[{(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2]=10 \\ \iff (\frac{m-3}{2}{)}^2+2=2\iff m=3 \end{gathered}$$     

thỏa (*).

Vậy giá trị m cần tìm là m =3.