Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên R? 3sin^2(x) - cos^2(x) + 5 = 0

* Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Vì f'(x) = ($x^5$ + $x^3$ - 7)' = 5$x^4$ + 3$x^2$ ≥ 0, ∀x ∈ R (dấu "=" xảy ra ⇔ x = 0). Suy ra f(x) đồng biến trên R. Mặt khác f(0) = -7, f(2) = 32 + 8 - 7 = 33 > 0. Hàm f(x) liên tục trên đoạn [0;2] nên tồn tại x₀ ∈ (0;2) để f(x₀) = 0. Suy ra f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên R.

Cách khác: Phương trình 3${\sin }^{2}x$ - ${\cos }^{2}x$ + 5 = 0

⇔ 3${\sin }^{2}x$ + ${\sin }^{2}x$ + 4 = 4(${\sin }^{2}x$ + 1) = 0, vô nghiệm

Các phương trình $x^2$ - 5x + 6 = 0 và 3tanx - 4 = 0 có nhiều hơn một nghiệm. Từ đó suy ra phương trình $x^5$ + $x^3$ - 7 = 0 có nghiệm duy nhất trên R.