Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=-x^3+3x^2+3(m^2-1)x-3 m^2-1 có cực

* Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm y’ =  -3x²+ 6x+ 3( m²-1) = -3( x²- 2x-m²+1).

Đặt g( x) = x²- 2x-m²+1 là tam thức bậc hai có $∆\text{'}=m^2$ .

+ Do đó hàm số đã cho có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi y’ =0 có hai nghiệm phân biệt hay g(x)  =0  có hai nghiệm phân biệt

 $\iff ∆\text{'}>0\iff m\ne 0$.                   (1)

+ Khi đó y’ có các nghiệm là: 1±m .

 Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 1-m ; -2-2m³) và B( 1+m ; -2+ 2m³).

Ta có: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{OA}(1-m;-2-2m^3)\Rightarrow O{A}^2={(1-m)}^2+4{(1+m^3)}^2. \\ \overrightarrow{OB}(1+m;-2+2m^3)\Rightarrow O{B}^2={(1+m)}^2+4{(1-m^3)}^2. \end{gathered}$$

Để A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi OA= O B  hay  OA²= OB²

$$\begin{gathered} {(1-m)}^2+4{(1+m^3)}^2={(1+m)}^2+4{(1-m^3)}^2 \\ \iff -4m+16m^3=0 \end{gathered}$$

Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ $m=\pm \frac{1}{2}$  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn yêu cầu  bài toán.

Chọn  A.