Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để giá trị lớn nhất của hàm số y= x^3-x^2+(m^2+1)x-4m-7

* Hướng dẫn giải

+ Xét hàm số f( x) = x³- x²+ ( m²+ 1) x- 4m- 7  trên đoạn [ 0; 2]

Ta có f’ (x) = 3x²- 2x+ m²+ 1= 3( x-1/3) ²+ m²+ 2/3> 0 .

+ Suy ra hàm số f(x)  đồng biến trên

 $\left[0;2\right]\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\underset{[0;2]}{min} f\left(x\right)=f\left(0\right)=-4m-7\\ \underset{[0;2]}{max} f\left(x\right)=f\left(2\right)=2m^2-4m-1\end{array}\right.$

+ Khi đó

$$\begin{gathered} \underset{[0;2]}{max} y=\underset{[0;2]}{max} \left|f\left(x\right)\right| \\ =max\left\{\left|-4m-7\right|;\left|2m^2-4m-1\right|\right\}\le 15 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left|-4m-7\right|\le 15\\ \left|2m^2-4m-1\right|\le 15\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}-\frac{11}{2}\le m\le 2\\ 2m^2-4m-16\le 0\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-\frac{11}{2}\le m\le 2\\ -2\le m\le 4\end{array}\right. \\ \iff -2\le m\le 2\stackrel{m\in \mathrm{\mathbb{Z}}}{\to }m\in \left\{\pm 2;\pm 1;0\right\} \end{gathered}$$

Vậy có 5 giá trị thoả mãn.

Chọn C.