Cho hàm số y=1/3x^4-14/3x^2 có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao cho

* Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm : y’ = 4/3.x³-28/3. x

$y_2-y_1=8(x_2-x_1)\iff \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=8$

Vậy tiếp tuyến của (C)  tại A  có hệ số góc bằng 8.

 + Xét phương trình y' = 8

$\iff \frac{4}{3}{x}^3-\frac{28}{3}x=8\iff 4x^3-28x-24=0$

+) Với x= 3 thì A( 3; -15) nên phương trình tiếp tuyến của (C)  tại A là y = 8(x-3) - 15 ($d_1$)

Phương trình hoành độ giao điểm của (C)  và ($d_1$) là

$8(x-3)-15=\frac{1}{3}{x}^4-\frac{14}{3}{x}^2\iff {(x-3)}^2(x^2+6x+13)=0\iff x=3.$

Vậy  A(3; -15)  loại.

+) Với x= -2 thì A(-2; -40/3) . phương trình tiếp tuyến của (C)  tại A là y = 8(x+2) - 40/3 ($d_2$)

Phương trình hoành độ giao điểm của ( C)  và ($d_2$)  là

$8(x+2)-\frac{40}{3}=\frac{1}{3}{x}^4-\frac{14}{3}{x}^2\iff {(x+2)}^2(x^2-4x-2)=0$

Vậy  A( -2; -40/3) thỏa mãn.

+) Với  x= -1 thì A( -2; -13/ 3)  nên  phương trình tiếp tuyến của C tại A là

y = 8(x+1) - 13/3 (d3)

Phương trình hoành độ giao điểm của C  và (d3)  là: 

$8(x+1)-\frac{13}{3}=\frac{1}{3}{x}^4-\frac{14}{3}{x}^2\iff {(x+2)}^2(x^2-2x-11)=0$

Vậy A( -1; -13/3) thỏa mãn.

Vậy có tất cả 2 điểm A thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.