Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y= x^3- 3mx^2+ 4m^3 có

* Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm : y’ = 3x²- 6mx

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m≠ 0.

+ Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là:  A( 0; 4m³) ; B( 2m; 0) ;  $\overrightarrow{AB}=(2m;-4m^3)$

Trung điểm của đoạn AB là   I (m; 2m³).

+ Điều kiện để  đối xứng nhau qua đường thẳng x- y= 0 hay y= x  là AB vuông góc với đường thẳng y= x  và $I\in \left(d\right)\iff \left\{\begin{array}{l}2m-4m^3=0\\ 2m^3=m\end{array}\right.$

$\iff m=0 hoặc m=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Kết hợp với điều kiện ta có: $m=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Chọn D.