Cho các số thực x; y thõa mãn x≥0; y≥0 và x+y=1. Giá trị lớn nhất M

* Hướng dẫn giải

Do x+ y= 1 nên

$$\begin{gathered} S=16x^2{y}^2+12(x+y)(x^2-xy+y^2)+34xy \\ =16x^2{y}^2+12\left[{(x+y)}^2-3xy\right]+34xy, do x+y=1 \\ =16x^2{y}^2-2xy+12 \end{gathered}$$

Đặt t= xy . Do x≥ 0 ; y≥0  nên

 $0\le xy\le \frac{{(x+y)}^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow t\in \left[0;\frac{1}{4}\right]$

Xét hàm số f(t) = 16t²- 2t + 12  trên [0 ; 1/4].

Ta có f’ (t) = 32t- 2 ; f’(t) =0 khi t= 1/ 16  .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có:

$$\begin{gathered} \underset{\left[0;\frac{1}{4}\right]}{min}f\left(t\right)=f\left(\frac{1}{16}\right)=\frac{191}{16}; \\ \underset{\left[0;\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 4}}\right]}{max}f\left(t\right)=f\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 4}}\right)=\frac{{\displaystyle 25}}{{\displaystyle 2}} \end{gathered}$$

Vậy giá trị lớn nhất của S là 25/2 đạt được khi 

$\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\ xy=\frac{1}{4}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\right.\right.$

giá trị nhỏ nhất của S  là 191/ 16 đạt được khi

Chọn A.