Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A( -1; 0) với hệ số góc k . Tìm k để đường

* Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua A và có hệ số góc k nên có dạng y= k( x+ 1)   hay

Kx- y+k=0 .

Phương trình hoành độ giao điểm của C  và  d là:

$x^3-3x^2+4=kx+k\iff (x+1)(x^2-4x+4-k)=0$

$\iff [\begin{array}{rcl}x& =& -1\\ g\left(x\right)& =& x^2-4x+4-k=0 (*)\end{array}$

D cắt tại ba điểm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1

$\iff \left\{\begin{array}{l}∆\text{'}>0\\ g(-1)\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}k>0\\ k\ne 9\end{array}\right.$

Khi đó g( x) =0 khi x=2-$\sqrt{k}; x=2+\sqrt{k}$    Vậy các giao điểm của hai đồ thị lần lượt là

$$\begin{gathered} A(-1; 0); \\ B(2-\sqrt{k}; 3k-k\sqrt{k}); \\ C(2+\sqrt{k}; 3k+k\sqrt{k}). \end{gathered}$$

Tính được

$$\begin{gathered} BC=2\sqrt{k}\sqrt{1+k^2}, \\ d(O,BC)=d(O,d)=\frac{\left|k\right|}{\sqrt{1+k^2}}. \end{gathered}$$

Khi đó 

$$\begin{gathered} S_{∆OBC}=\frac{1}{2}.\frac{\left|k\right|}{\sqrt{k^2+1}}.2\sqrt{k}.\sqrt{k^2+1}=1 \\ \iff \left|k\right|\sqrt{k}=1\iff k^3=1\iff k=1. \end{gathered}$$

Vậy k= 1 thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn C.