Cho hàm số y=2x+1 / x+1 có đồ thị C và d: y= x+ m. Giá trị của tham số m để d cắt C tại

* Hướng dẫn giải

+ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị  C  và đường thẳng d

$\frac{2x+1}{x+1}=x+m\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -1\\ x^2+(m-1)x+m-1=0 \left(1\right)\end{array}\right.$

+ Khi đó d cắt C tại hai điểm phân biệt A; B  khi và chi khi phương trình (1)  có hai nghiệm phân biệt khác -1

$\iff \left\{\begin{array}{l}{(m-1)}^2-4(m-1)>0\\ {(-1)}^2-(m-1)+m-1\ne 0\end{array}\right.\iff m<1\vee m>5 (*)$

Khi đó ta lại có A( x₁ ; x₁+m) ; B( x₂ ; x₂+ m) ; 

$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1; x_2-x_1)$ nên  $AB=\sqrt{2{(x_2-x_1)}^2}=\sqrt{2}\left|x_2-x_1\right|$

và $\left\{\begin{array}{l}{x}_2+x_1=1-m\\ x_2.x_1=m-1\end{array}\right.$

Từ đây ta có

$$\begin{gathered} AB=\sqrt{10}\iff \left|x_2-x_1\right|=\sqrt{5}\iff {\left(x_2+x_1\right)}^2-4x_2{x}_1=5 \\ \iff {(1-m)}^2-4(m-1)=5\iff m^2-6m=0 \end{gathered}$$

Vậy m= 0 hoặc m= 6.

Chọn D.