Cho hàm số: y = (4 - x)/(2x + 3m) a) Xét tính đơn điệu của hàm số.

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số:

a) TXĐ: R \ {−3m/2}

 +) Nếu m < −8/3, y′ > 0 suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng 

    +) Nếu m > −8/3, y′ < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng

    +) Nếu m = −8/3 thì y = −1/2 khi x ≠ 4

b) Ta có:

nên với mọi m, đường thẳng y = -1/2 là tiệm cận ngang và đi qua 

c) Số giao điểm của (Cm) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là số nghiệm của phương trình:

Ta có:

⇔ 2$x^2$ + (3m + 1)x – 4 = 0 ⇔ 2$x^2$ + (3m + 1) x – 4 = 0 với x ≠ −3m/2

    +) Thay x = −3m/2 vào (*), ta có:

Như vậy, để x = −3m/2 không là nghiệm của phương trình (*) ta phải có m ≠ −8/3.

Ta có: Δ = ${(3m+1)}^2$ + 32 > 0, ∀ m. Từ đó suy ra với m ≠−8/3 đường thẳng y = x luôn cắt (Cm) tại hai điểm phân biệt.

d) Ta có:

Trước hết, ta vẽ đồ thị (C) của hàm số

TXĐ: D = R \ {−3/2}.

Vì 

với mọi nên hàm số nghịch biến trên các khoảng

Bảng biến thiên:

Tiệm cận đứng x = −3/2

Tiệm cận ngang y = −1/2

Đồ thị (C) đi qua các điểm (−2;−6),(−1;5),(0;4/3),(4;0)

Để vẽ đồ thị (C’) của hàm số , ta giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.