Số nguyên nhỏ nhất của tham số để PT x^2+(m+2)x+4=(m-1) x^3+4x có nghiệm là

* Hướng dẫn giải

Điều kiện x≥ 0.

Dễ thấy x = 0  không là nghiệm của phương trình.

Xét x> 0 , chia cả 2 vế của phương trình cho x  ta được 

$\frac{x^2+4}{x}-(m-1)\sqrt{\frac{{\displaystyle x^2+4}}{{\displaystyle x}}}+m+2=0 (*)$

Đặt $t=\sqrt{\frac{{\displaystyle x^2+4}}{{\displaystyle x}}}$ , khi đó phương trình ( *)  trở thành:  t²- (m - 1)t + m + 2 = 0

Vì t ≥ 2 nên t - 1 ≠ 0  nên phương trình $$\begin{gathered} (*)\iff t^2+t+2=m(t-1) \\ \iff m=\frac{t^2+t+2}{t-1} \end{gathered}$$

Xét hàm số $$\begin{gathered} f\left(t\right)=\frac{t^2+t+2}{t-1} trên [2; +\infty ) \\ f\text{'}\left(t\right)=\frac{t^2-2t-3}{{(t-1)}^2}\Rightarrow \underset{[2; +\infty )}{min}f\left(t\right)=7 \end{gathered}$$

Khi đó, để phương trình m =f( t)  có nghiệm $\iff m\ge \underset{[2; +\infty )}{min}f\left(t\right)=7$

Chọn C.