Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 1+2cosx+1+2sinx=m/2

* Hướng dẫn giải

Xét $x\in \left[-\mathrm{\pi };\mathrm{\pi }\right]$ mà $\left\{\begin{array}{l}2\sin x+1\ge 0\\ 2\cos x+1\ge 0\end{array}\right.$suy ra $x\in \left[-\frac{\mathrm{\pi }}{6};\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right]$

Ta có: 

Đặt $t= \sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)\Rightarrow t\in \left[\frac{\sqrt{3}-1}{2};\sqrt{2}\right]$

Và 2.sinx.cos x= t²- 1

Khi đó:

Suy ra y = f( t)  là hàm số đồng biến trên $\left[\frac{\sqrt{3}-1}{2};\sqrt{2}\right]\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}min f\left(t\right)=f\left(\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\\ max f\left(t\right)=f\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$

Do đó, để f( t) = m²/8 có nghiệm $\iff \frac{1+\sqrt{3}}{2}\le \frac{m^2}{8}\le 2+2\sqrt{2}\iff 2\sqrt{1+\sqrt{3}}\le m\le 4\sqrt{1+\sqrt{2}}$

Mà m nguyên chọn m= 5; 6;7; 8.

Chọn C.