Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 5^ x+2y+3/3^xy+x+1

* Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta suy ra

Xét hàm số $f\left(t\right)=5^t-\frac{1}{3^t}+t$ với $t \in \mathrm{ℝ}, f\text{'}\left(t\right)=5^t.\ln 5+3^{-t}.\ln 3+1>0; \forall t\in \mathrm{ℝ}$

Suy ra y= f( t) là hàm số đồng biến trên R mà từ ( * ) suy ra

f (x+ 2y) =f( xy-1)  hay x+ 2y= xy-1

với x>0 suy ra y>1.

Khi đó

Xét hàm số

 $$\begin{gathered} f\left(y\right)=\frac{y^2+y+1}{y-1} trên \left(1;+\infty \right) \\ f\text{'}\left(y\right)=\frac{y^2-2y-2}{{\left(y-1\right)}^2}=0\iff y=1\pm \sqrt{3} \end{gathered}$$

Vẽ BBT ta thấy với f(y) trên $\left(1;+\infty \right)$ đạt GTNN tại y = $1+\sqrt{3}$

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là $f(1+\sqrt{3})=3+2\sqrt{3}$.

Vậy kết quả là $3+2\sqrt{3}$

Chọn B.