Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a,AD=2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a (tham khảo hình vẽ). Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách giữa hai đường t...

* Hướng dẫn giải

Gọi N là trung điểm của AB khi đó BM//DN nên \(BM//\left( SDN \right)\)

\(d\left( BM;SD \right)=d\left( BM;\left( SDN \right) \right)=d\left( B;\left( SDN \right) \right)=d\left( A;\left( SDN \right) \right)\).

Kẻ \(AH\bot DN\) tại H. Ta có \(\left( SAH \right)\bot \left( SDN \right)\). Trong \(mp\left( SAH \right)\) \(AK\bot SH\) tại K. Khi đó

\(d\left( BM;SD \right)=d\left( A;\left( SDN \right) \right)=AK\).

\(\frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{1}{A{{H}^{2}}}+\frac{1}{S{{A}^{2}}}=\frac{1}{A{{N}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}+\frac{1}{S{{A}^{2}}}=\frac{4}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{4{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{21}{4{{a}^{2}}}\).

Suy ra \(AK=\frac{2a\sqrt{21}}{21}\).