Xét các số thực dươg x, y thỏa mãn \({\log _{\frac{1}{2}}}x + {\log _{\frac{1}{2}}}y \le {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} \right)\)

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\({\log _{\frac{1}{2}}}x + {\log _{\frac{1}{2}}}y \le {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {xy} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} \right) \Leftrightarrow xy \ge x + {y^2}\)

\( \Leftrightarrow x\left( {y - 1} \right) \ge {y^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \frac{{{y^2}}}{{y - 1}}\\ y > 1 \end{array} \right.\), ( vì x;y > 0).

Ta có: \(P = x + 3y \ge \frac{{{y^2}}}{{y - 1}} + 3y = 4y + 1 + \frac{1}{{y - 1}}\).

Xét hàm số: \(f\left( y \right) = 4y + 1 + \frac{1}{{y - 1}};y > 1\).

Đạo hàm: \({f^/}\left( y \right) = 4 - \frac{1}{{{{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\).

\({f^/}\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = \frac{3}{2}\\ y = \frac{1}{2} \end{array} \right.\).

Bảng biến thiên.

Vậy \({P_{\min }} = 9\) đạt được khi \(y = \frac{3}{2};\,x \ge \frac{9}{2}\).