Cho khối tứ diện đều ABCD có thể tích bằng \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AC, AD, BD, BC. Thể tích khối chóp BMNPQ là

* Hướng dẫn giải

Gọi V là thể tích của khối tứ diện đều ABCD.

Ta có \({{V}_{BMNPQ}}=2{{V}_{BPMQ}}\)(do MNPQ là hình thoi).

Mặt khác do P là trung điểm của BD nên \(d\left( P,\left( ABC \right) \right)=\frac{1}{2}d\left( D,\left( ABC \right) \right)\), đồng thời \({{S}_{BQM}}=\frac{1}{4}{{S}_{ABC}} \Rightarrow {{V}_{BPMQ}}=\frac{1}{3}d\left( P,\left( ABC \right) \right).{{S}_{BQM}} =\frac{1}{6}d\left( D,\left( ABC \right) \right).\frac{1}{4}{{S}_{ABC}}\)

\(=\frac{1}{8}.\frac{1}{3}d\left( D,\left( ABC \right) \right).{{S}_{ABC}}=\frac{V}{8} \Rightarrow {{V}_{BMNPQ}}=\frac{V}{4}=\frac{\sqrt{2}}{6}\).