Có bao nhiêu số phức z thỏa \(\left| z+1-2i \right|=\left| \overline{z}+3+4i \right|\) và \(\frac{z-2i}{\overline{z}+i}\) là một số thuần ảo?

* Hướng dẫn giải

Đặt \(z=x+yi\,\,(x,y\in \mathbb{R})\).

Theo bài ra ta có

\(\left| {x + 1 + \left( {y - 2} \right)i} \right| = \left| {x + 3 + \left( {4 - y} \right)i} \right| \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} \Leftrightarrow y = x + 5\)

Số phức \({\rm{w}} = \frac{{z - 2i}}{{\overline z + i}} = \frac{{x + \left( {y - 2} \right)i}}{{x + \left( {1 - y} \right)i}} = \frac{{{x^2} - \left( {y - 2} \right)\left( {y - 1} \right) + x\left( {2y - 3} \right)i}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\)

w là một số thuần ảo khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - \left( {y - 2} \right)\left( {y - 1} \right) = 0\\ {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} > 0\\ y = x + 5\\ x\left( {2y - 3} \right) \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{{12}}{7}\\ y = \frac{{23}}{7} \end{array} \right.\).

Vậy \(z =  - \frac{{12}}{7} + \frac{{23}}{7}i\). Vậy chỉ có 1 số phức z thỏa mãn.