Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB=2a, AC=a và SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\l...

* Hướng dẫn giải

Trong \(\Delta ABC\) kẻ \(CH\bot AB\).

Do \(\left\{ \begin{align} & CH\bot AB \\ & CH\bot SA \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow CH\bot \left( SAB \right) \Rightarrow CH\bot SB\left( 1 \right)\).

\(BC=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\sqrt{3}\).

\(CH=\frac{CA.CB}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

\(BH=\sqrt{B{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}}=\frac{3}{2}a\).

Trong \(\Delta SAB\) kẻ \(HK\bot SB \Rightarrow CK\bot SB\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SBC \right)\) là \(\widehat{CKH}=60{}^\circ \).

Trong vuông \(\Delta CKH\) có \(HK=CH.\cot 60{}^\circ =\frac{a}{2}\).

\(\Delta SAB\) đồng dạng với \(\Delta HKB\) nên \(\frac{SA}{HK}=\frac{AB}{BK}=\frac{2a}{a\sqrt{2}} \Rightarrow SA=\frac{a}{\sqrt{2}}\)

Thể tích hình chóp S.ABC là \(V=\frac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}} =\frac{1}{3}\frac{a}{\sqrt{2}}.\frac{1}{2}.a.\sqrt{3}.a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}\).