Xét hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\), thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+1 \right|=1,\left| {{z}_{2}}+2 \right|=\sqrt{3}\) và \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}}-1 \right|=\sqrt{6}\). Giá trị...

* Hướng dẫn giải

Gọi \({{z}_{1}}=a+bi,\,{{z}_{2}}=c+di, a,b,c,d\in \mathbb{R}\).

Từ giả thiết ta có: \({{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1,{{\left( c+2 \right)}^{2}}+{{d}^{2}}=3\).

\(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}}-1 \right|=\left| \left( a+1 \right)+bi-\left( c+2 \right)-di \right|=\sqrt{6}\)

\(\Leftrightarrow {{\left[ \left( a+1 \right)-\left( c+2 \right) \right]}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}=6 \Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}-2\left( a+1 \right)\left( c+2 \right)+{{\left( c+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{d}^{2}}-2bd=6\)

\(\Leftrightarrow -2\left[ \left( a+1 \right)\left( c+2 \right)+bd \right]=2 \Leftrightarrow \left[ \left( a+1 \right)\left( c+2 \right)+bd \right]=-1\)

Ta có: \(5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7=5\left( {{z}_{1}}+1 \right)+\left( {{z}_{2}}+2 \right)=5\left( a+bi+1 \right)+\left( c+di+2 \right)\)

\(\Leftrightarrow 5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7=\left( 5a+c+7 \right)+\left( 5b+d \right)i=5\left( a+1 \right)+\left( c+2 \right)+\left( 5b+d \right)i\)

\(\Rightarrow \left| 5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7 \right|=\sqrt{{{\left[ 5\left( a+1 \right)+\left( c+2 \right) \right]}^{2}}+{{\left( 5b+d \right)}^{2}}}\)

\(=\sqrt{25{{\left( a+1 \right)}^{2}}+10\left( a+1 \right)\left( c+2 \right)+{{\left( c+2 \right)}^{2}}+25{{b}^{2}}+10bd+{{d}^{2}}}\)

\(=\sqrt{10\left[ \left( a+1 \right)\left( c+2 \right)+bd \right]+28}=3\sqrt{2}\).

Áp dụng bất đẳng thức môđun: \(\left| z+{z}' \right|\le \left| z \right|+\left| {{z}'} \right|. \Rightarrow \left| 5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7-3i \right|\le \left| 5{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+7 \right|+\left| -3i \right|=3\sqrt{2}+3\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P=3\sqrt{2}+3\).