Trong không gian Oxyz cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y-z+3=0\). Đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\) đ...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\) \( \Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = - 1 + 2t\\ z = 1 + t \end{array} \right.\)

Gọi \(M=\Delta \cap \left( P \right) \Rightarrow M\in \Delta  \Rightarrow M\left( t;2t-1;t+1 \right)\).

Với \(M\in \left( P \right) \Rightarrow t-2\left( 2t-1 \right)-\left( t+1 \right)+3=0 \Leftrightarrow 4-4t=0 \Leftrightarrow t=1 \Rightarrow M\left( 1;1;2 \right)\).

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow{n}=\left( 1;-2;-1 \right)\)

Véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow{u}=\left( 1;2;1 \right)\)

Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) đồng thời cắt và vuông góc với \(\Delta \)

Do vậy đường thẳng d nhận \(\frac{1}{2}\left[ \overrightarrow{n},\overrightarrow{u} \right]=\left( 0;-1;2 \right)\) làm véc tơ chỉ phương, mặt khác \(M\left( 1;1;2 \right)\in d\) nên phương trình đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 1 - t\\ z = 2 + 2t \end{array} \right.\)