Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng \(\left( P \right):x+y+z-1=0\), đường thẳng \(\left( d \right):\frac{x-15}{1}=\frac{y-22}{2}=\frac{z-37}{2}\) và mặt cầu \(\left(...
Câu hỏi :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng \(\left( P \right):x+y+z-1=0\), đường thẳng \(\left( d \right):\frac{x-15}{1}=\frac{y-22}{2}=\frac{z-37}{2}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x-6y+4z+4=0\).Một đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) thay đổi cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm A,B sao cho AB=8. Gọi \({A}', {B}'\) là hai điểm lần lượt thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(A{A}',B{B}'\) cùng song song với \(\left( d \right)\).Giá trị lớn nhất của biểu thức \(A{A}'+B{B}'\) là
A. \(\frac{{24 + 18\sqrt 3 }}{5}\)
B. \(\frac{{12 + 9\sqrt 3 }}{5}\)
C. \(\frac{{16 + 60\sqrt 3 }}{9}\)
D. \(\frac{{8 + 30\sqrt 3 }}{9}\)
* Đáp án
A
* Hướng dẫn giải
.PNG)
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 4;3;-2 \right)\) và bán kính R=5.
Gọi H là trung điểm của AB thì \(IH\bot AB\) và IH=3 nên H thuộc mặt cầu \(\left( {{S}'} \right)\) tâm I bánkính \({R}'=3\)
Gọi M là trung điểm của \({A}'{B}'\) thì \(A{A}'+B{B}'=2HM\), M nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Mặt khác ta có \(d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{4}{\sqrt{3}}<R\) nên \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) và \(\sin \left( d;\left( P \right) \right)=\sin \alpha =\frac{5}{3\sqrt{3}}\). Gọi K là hình chiếu của H lên \(\left( P \right)\) thì \(HK=HM.\sin \alpha \).
Vậy để \(A{A}'+B{B}'\) lớn nhất thì HK lớn nhất
\(\Leftrightarrow HK\) đi qua I nên \(H{{K}_{\max }}={R}'+d\left( I;\left( P \right) \right)=3+\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\).
Vậy \(A{A}'+B{B}'\) lớn nhất bằng \(2\left( \frac{4+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right).\frac{3\sqrt{3}}{5}=\frac{24+18\sqrt{3}}{5}\).
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán - Trường THPT Thanh Oai A
Copyright © 2021 HOCTAP247