Cho biết \(\int\limits_{0}^{\pi }{{{\left( x+\cos x \right)}^{2}}\text{d}x=\frac{{{\pi }^{3}}}{a}+\frac{\pi }{b}}-c\); với \(a,\,b,\,c\) là những số nguyên dương. Khi đó giá trị củ...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(I = \int\limits_0^\pi {{{\left( {x + \cos x} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^\pi {\left( {{x^2} + 2x\cos x + {{\cos }^2}x} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^\pi {{x^2}{\rm{d}}x} + 2\int\limits_0^\pi {x\cos x{\rm{d}}x} + \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}x{\rm{d}}x} \).

Với \(A = \int\limits_0^\pi  {{x^2}{\rm{d}}x}  = \frac{{{\pi ^3}}}{3}\).

Với \(B = \int\limits_0^\pi  {x\cos x{\rm{d}}x} \) sử dụng từng phần đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ {\rm{d}}v = \cos x{\rm{d}}x \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\ v = \sin x \end{array} \right.\).

Suy ra \(B = \left. {\left( {x\sin x} \right)} \right|_0^\pi - \int\limits_0^\pi {\sin x{\rm{d}}x} = \left. {\cos x} \right|_0^\pi = - 2\)

Với \(C = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}x{\rm{d}}x} = \int\limits_0^\pi {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}{\rm{d}}x = \left. {\left[ {\frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4}} \right]} \right|} _0^\pi = \frac{\pi }{2}\).

Suy ra \(I = A + 2B + C = \frac{{{\pi ^3}}}{3} - 4 + \frac{\pi }{2} \equiv \frac{{{\pi ^3}}}{a} + \frac{\pi }{b} - c \Rightarrow a = 3,\,b = 2,\,c = 4 \Rightarrow T = a + b + c = 9\)