Cho hai số phức \({{z}_{1}}=1-2i\) và \({{z}_{2}}=1+mi\).Tìm giá trị của m để số phức \(w=\frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}+i\) là số thực.

* Hướng dẫn giải

\(w = \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}} + i = \frac{{1 + mi}}{{1 - 2i}} + i = \frac{{\left( {1 + mi} \right)\left( {1 + 2i} \right)}}{{\left( {1 - 2i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}} + i = \frac{{1 + 2i + mi - 2m}}{5} + i = \frac{{1 + 2i + mi - 2m + 5i}}{5}\)

\( = \frac{{\left( {1 - 2m} \right) + \left( {7 + m} \right)i}}{5} = \frac{{\left( {1 - 2m} \right)}}{5} + \frac{{\left( {7 + m} \right)i}}{5}\)

Số phức \(w=\frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}+i\) là số thực khi \(\frac{\left( 7+m \right)}{5}=0\Leftrightarrow m=-7\)