Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 63 số nguyên y thảo mãn \({{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{4}}\left( x+y \right)\)

* Hướng dẫn giải

\({\log _5}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _4}\left( {x + y} \right)\)

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + y > 0\\ x + y > 0\\ x,y \in Z \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y \ge 1\\ x,y \in Z \end{array} \right.\)

Đặt \(t=x+y\left( t\in \mathbb{Z},t\ge 1 \right)\) ta có \({{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{4}}\left( x+y \right) \Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-x+t \right)-{{\log }_{4}}t\ge 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Do mỗi y tương ứng với một và chỉ một t nên ứng với mỗi x có không quá 63 số nguyên

y thỏa mãn \({{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{4}}\left( x+y \right)\) khi và chỉ  khi ứng với mỗi x có không quá 63 số nguyên \(t\ge 1\) thỏa mãn (1)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-x+t \right)-{{\log }_{4}}t\) có tập xác định \(D=\left[ 1\,;\,+\infty  \right)\)

Ta có : \({f}'\left( t \right)=\frac{1}{\left( {{x}^{2}}-x+t \right)\ln 5}-\frac{1}{t\ln 4}<0\,\forall x\in D\left( {{x}^{2}}-x+t>t,\ln 5>\ln 4 \right)\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên D

Suy ra \(f\left( 1 \right)>f\left( 2 \right)>...>f\left( 63 \right)>f\left( 64 \right)>.....\)

Vì ứng với mỗi số nguyên x có không có quá 63 số nghiệm t  thỏa mãn (1) nên \(f\left( 64 \right)<0\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-x+64 \right)-{{\log }_{4}}64<0 \Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-x+64 \right)<3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+64<{{5}^{3}}\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-61<0 \Leftrightarrow \,\,\frac{1-7\sqrt{5}}{2}<x<\frac{1+7\sqrt{5}}{2}\)

Vì \(x\in \mathbb{Z}\) nên \(x\in \left\{ -7;-6;.....;8 \right\}\), do đó có \(8-\left( -7 \right)+1=16\) số nguyên x thỏa mãn bài toán.