Biết số phức \(\text{z}=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(z\left( 2+i \right)\left( 1-2i \right)\) là một số thực và \(\left| z-1 \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Kh...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(z\left( 2+i \right)\left( 1-2i \right)=\left( a+bi \right)\left( 4-3i \right)=\left( 4\text{a}+3b \right)+\left( 4b-3\text{a} \right)i\) là số thực nên

\(4b-3\text{a}=0\Leftrightarrow b=\frac{3a}{4}\).

Mặt khác ta lại có \(T=\left| z-1 \right|=\left| \left( a-1 \right)+bi \right|=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}\)

\(=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3a}{4} \right)}^{2}}}=\frac{1}{4}\sqrt{25{{a}^{2}}-32a+16}\)

\(=\frac{1}{4}\sqrt{{{\left( 5a-\frac{16}{5} \right)}^{2}}+\frac{144}{25}}\ge \frac{1}{4}\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{3}{5}\).

Vậy \(MinT=\frac{3}{5}\Leftrightarrow a=\frac{16}{25},b=\frac{12}{25}\).

Suy ra \(P=625\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+2021=2421\).