Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, AD=2a; SA vuông góc với đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng \(\frac{a}{2}\). Tính thể tích của khối...

* Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng SD.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} CD \bot AD\\ CD \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AH\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l} AH \bot SD\\ AH \bot CD \end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AH = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\).

Mặt khác ta có \(\left\{ \begin{array}{l} AB\,{\rm{//}}\,CD\\ AB \not\subset \left( {SCD} \right)\\ CD \subset \left( {SCD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow AB{\rm{//}}\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {AB,SD} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH\).

Theo bài ra thì \(d\left( {AB,SD} \right) = \frac{a}{2} \Rightarrow AH = \frac{a}{2}\).

Do \(\Delta SAD\) vuông tại A có đường cao AH nên

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{{15}}{{4{a^2}}} \Rightarrow SA = \frac{{2a\sqrt {15} }}{{15}}\).

Vậy \(V = \frac{1}{3}AB.AD.SA = \frac{1}{3}a.2a.\frac{{2a\sqrt {15} }}{{15}} = \frac{{4\sqrt {15} }}{{45}}{a^3}\).