Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Hàm số \(y=f\left( {{x}^{2}}+4x \right)-{{x}^{2}...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 4x} \right) - {x^2} - 4x\)

\(\Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {2x + 4} \right)f'\left( {{x^2} + 4x} \right) - \left( {2x + 4} \right) = \left( {2x + 4} \right)\left[ {f'\left( {{x^2} + 4x} \right) - 1} \right]\).

Ta có \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x + 4 = 0\\ {x^2} + 4x = - 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ {x^2} + 4x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\ {x^2} + 4x = a \in \left( {1;5} \right)\,\,\,\,(3) \end{array} \right.\).

Xét phương trình \({x^2} + 4x = a \in \left( {1;5} \right)\), ta có BBT của hàm số \(y = {x^2} + 4x\) trên (-5;1) như sau:

Suy ra (1) có nghiệm kép x=-2, (2) có 2 nghiệm phân biệt x=-4;x=0, (3) có 2 nghiệm phân biệt \(x={{x}_{1}};x={{x}_{2}}\) khác \(-2;\,\,0;\,\,-4\). Do đó phương trình \({g}'\left( x \right)=0\) có 5 nghiệm trong đó có x=-2 là nghiệm bội ba, các nghiệm x=-4;x=0; \(x={{x}_{1}};x={{x}_{2}}\) là các nghiệm đơn.

Vậy \(g\left( x \right)\) có 5 điểm cực trị.