Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\). Hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau: Bất phương trình \(f\left( x \right)>{{2}^{x}}+m\) đúng với mọi \(x\in \left( -1;...

* Hướng dẫn giải

\(f\left( x \right)>{{2}^{x}}+m, \forall x\in \left( -1;\,1 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right)-{{2}^{x}}>m \Leftrightarrow f\left( x \right)-{{2}^{x}}>m\).

Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{2}^{x}}\) trên \(\left( -1;\,1 \right)\).

Ta có: \({g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{2}^{x}}.\ln 2\).

Ta thấy: \(\forall x\in \left( -1;\,1 \right)\) thì \({f}'\left( x \right)\le 0\) và \({{2}^{x}}.\ln 2>0\).

Do đó \({g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{2}^{x}}.\ln 2<0, \forall x\in \left( -1;\,1 \right)\).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có: \(m\le g\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( 1 \right)-2\).