Biết \(I=\int\limits_{2}^{4}{\frac{2x+1}{{{x}^{2}}+x}\text{d}x} =a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5\), với a, b, c là các số nguyên. Khi đó P=2a+3b+4c thuộc khoảng nào sau đây?

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(I=\int\limits_{2}^{4}{\frac{2x+1}{{{x}^{2}}+x}\text{d}x} =\int\limits_{2}^{4}{\frac{x+\left( x+1 \right)}{x\left( x+1 \right)}\text{d}x} =\int\limits_{2}^{4}{\left( \frac{1}{x+1}+\frac{1}{x} \right)\text{d}x} =\left. \left( \ln \left| x+1 \right|+\ln \left| x \right| \right) \right|_{2}^{4}\)

\(=\ln 5+2\ln 2-\left( \ln 3+\ln 2 \right) =\ln 2-\ln 3+\ln 5\).

Từ đây ta có a=1,b=-1,c=1 nên P=2a+3b+4c=3.