Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của BC (Tham khảo hình vẽ dưới). ​ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BD.

* Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và \(BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)\).

Gọi N là trung điểm của CD, I là giao điểm của MN và OC. \(\Rightarrow \left( SMN \right)\bot \left( SOI \right)\)

Kẻ \(OH\bot SI\,\,\left( H\in SI \right)\Rightarrow OH\bot \left( SMN \right)\)

\(\Rightarrow DB\text{//}MN\Rightarrow BD\text{//}\left( SMN \right)\Rightarrow d\left( SM;BD \right)=d\left( BD;\left( SMB \right) \right) =d\left( O,\left( SMN \right) \right)=OH.\)

Ta có: \(OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}; SO=\sqrt{S{{C}^{2}}-C{{O}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\);

\(\Rightarrow OI=\frac{a\sqrt{2}}{4}\Rightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{I}^{2}}}=\frac{2}{{{a}^{2}}}+\frac{8}{{{a}^{2}}}=\frac{10}{{{a}^{2}}}\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{10}}{10}\)

\(\Rightarrow d\left( SM,BD \right)=\frac{a\sqrt{10}}{10}\).