Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left| {{x}^{3}}-3x+m \right|\) trên đoạn \(\left[ 0;\ 3 \right]\) bằng 20.

* Hướng dẫn giải

Xét hàm \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+m\) trên \(\left[ 0;\ 3 \right]\).

Ta có \({f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3\), \({f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right.\).

Khi đó \(f\left( 1 \right)=m-2, f\left( 0 \right)=m\) và \(f(3)=m+18\).

Do f(1)<f(0)<f(3) nên \(\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\max \left\{ \left| f(1) \right|;\left| f(3) \right| \right\}\).

Nếu \(\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\left| m+18 \right|=20\) thì \(\left\{ \begin{align} & \left| m+18 \right|=20 \\ & \left| m+18 \right|\ge \left| m-2 \right| \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m=2\).

Nếu \(\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\left| m-2 \right|=20\) thì \(\left\{ \begin{align} & \left| m-2 \right|=20 \\ & \left| m-2 \right|\ge \left| m+18 \right| \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m=-18\).